29 de agosto de 2007

Concepto de numeros imaginario y complejos

Números Imaginarios
Son aquellos cuyo cuadrado es negativo, se denotan con la letra i. Así que i 2 = -1, por lo tanto i=. Estos números imaginarios pueden ser complejos y constar de una parte real y otra imaginaria, por ejemplo 3+4i, donde 3 y 4 son números enteros. Se multiplican de la siguiente forma: (3+4i)x(1+2i)=3x1 + 3x2i + 4ix1 + 4ix2i = 3 + 6i + 4i - 8 = -5 + 10i. Recordemos la regla de los signos para la multiplicación algebraica. Esta regla se puede justificar con ayuda de una figura geométrica como la anterior donde . Cuando las partes del número complejo son enteros, nos encontramos con enteros imaginarios o enteros complejos.

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA Una expresión de la forma a+bi en la que a y b son dos números reales cualesquiera e i es la unidad imaginaria, se denomina número complejo.
a+bi es la forma binómica del número complejo; a es la parte real y b es la parte imaginaria.

NUMEROS REALES
Los números reales se definen de manera axiomática como el conjunto de números que se encuentran en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta infinita (continuum): la recta numérica. El conjunto de los números reales se le simboliza con la letra R . El nombre de número real se propuso como antónimo de número imaginario.
El concepto de número real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales. Así, el conjunto de los números reales se origina como la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los irracionales.
Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de números racionales, y éste a su vez contiene a los enteros que a su vez contiene los números naturales, se sugiere que el conjunto de los números reales contiene también a los números enteros y a los números naturales. Asimismo, el conjunto de números reales contiene al de los números irracionales.
Por tanto, los números reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos, negativos, o cero.
Puede definirse un número real, en estos términos, como un número positivo o negativo que puede o no tener cifras de decimal finito o infinito y puede representarse mediante un punto en la recta de números reales. En este sentido, el teorema fundamental de la geometría analítica establece que a cada número real le corresponde un punto en la recta de los números reales y viceversa.
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:
1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de números negativos en números reales, razón por la que existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.
2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada.
Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matemáticas: existen asíntotas verticales en los lugares donde una función se indefine, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.
La principal característica del conjunto de los números reales es la completitud, es decir, la existencia de límite para dada sucesión de Cauchy de números reales.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

21 de agosto de 2007

Logaritmos

En Matemática, el logaritmo es la función inversa de la función potencia x = bn, que permite obtener n. Esta función se escribe como: n = logb x. Es el exponente o potencia a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para dar un número dado. Por ejemplo, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2. Esto se escribe como log10 100 = 2.

El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en bn = x, b puede ser encontrado con radicales, n con logaritmos y x con exponenciación. Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al logaritmo en base e de un número.

Uso de logaritmos
La función logb(x)= a está definida donde quiera que x es un número real positivo y b es un número real positivo diferente a 1. Véase identidades logarítmicas para diversas reglas relacionadas a las funciones logarítmicas. También es posible definir logaritmos para argumentos complejos.
Para enteros b y x, el número logb(x) es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o x tiene un factor primo que el otro no tiene.

Logaritmo en base b
Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1).

10 de agosto de 2007

TEORIA DE CONJUNTOS


DEFINICIONES
Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común.
En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.
La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto.
No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido.
Un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase.

UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:
A U B = {x / x A o x B}
En forma gráfica:




Cuando no tiene elementos comunes





cuando tienen algunos elementos comunes









cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto



DIAGRAMA DE VENN
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica. A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).
El gráfico es la representación de la unión


El gráfico es la representación de la intersección

El gráfico es la representación de la diferencia